3. Cơ cấu chấp hành của Robot

Estimated reading: 36 minutes 91 views

Robot (Robot / ロボット) được cấu thành từ 4 yếu tố cơ bản: Máy tính (Computer / コンピュータ) tương đương với bộ não, Cơ quan cảm giác (Sensor / 感覚器) tương đương với ngũ quan, Cơ cấu (Mechanism / 機構) tương đương với cơ thể, và Cơ cấu chấp hành (Actuator / アクチュエータ) tương đương với cơ bắp. Trong số đó, Máy tính (Computer / コンピュータ) và Cơ quan cảm giác (Sensor / 感覚器) chỉ xử lý Thông tin (Information / 情報), trong khi Cơ cấu (Mechanism / 機構) và Cơ cấu chấp hành (Actuator / アクチュエータ) còn xử lý cả Năng lượng (Energy / エネルギ). Đặc biệt, Cơ cấu chấp hành (Actuator / アクチュエータ) là yếu tố xử lý năng lượng một cách chủ động, khi được cung cấp năng lượng từ nguồn Công suất (Power / パワー), nó có chức năng chuyển đổi năng lượng này thành Động năng (Kinetic energy / 運動エネルギ). Trong số các cơ cấu chấp hành, loại chuyển đổi tỷ lệ cấu thành bên trong của cùng một loại năng lượng (Ví dụ: Lực / Vận tốc, Điện áp (Voltage / 電圧) / Dòng điện (Current / 電流)) được gọi là Bộ biến đổi (Converter / コンバータ), và loại chuyển đổi sang một loại năng lượng khác được gọi là Động cơ (Motor / モータ). Để truyền động Robot, người ta sử dụng các loại Động cơ (Motor / モータ) hệ thủy lực, hệ điện và hệ khí nén, nhưng trong những năm gần đây, hệ điện với Đặc tính điều khiển (Control characteristic / 制御特性) ưu việt và dễ xử lý đang trở thành dòng chủ đạo. Chương này sẽ trình bày về nguyên lý, phương pháp điều khiển, v.v., tập trung vào Động cơ điện (Electric motor / 電気式モータ).

3.1 Động cơ điện

Động cơ điện (Electric motor / 電気式モータ) bao gồm Động cơ Servo DC (DC servo motor / 直流サーボモータ), Động cơ Servo AC (AC servo motor / 交流サーボモータ), Động cơ bước (Pulse motor / パルスモータ), v.v. Bảng 3.1 thể hiện đặc trưng của từng loại động cơ. Chổi than (Brush / ブラシ) là tiếp điểm cung cấp Dòng điện (Current / 電流) cho Phần ứng (Armature / 電機子) đang quay. Vì Chổi than (Brush / ブラシ) luôn tiếp xúc với Phần ứng (Armature / 電機子) nên nó sẽ bị mài mòn do chuyển động quay. Do đó, các loại động cơ không có chổi than có Độ tin cậy (Reliability / 信頼性) cao và cũng có tính bảo trì ưu việt vì không cần phải thay chổi than. Động cơ bước (Pulse motor / パルスモータ) không có Phản hồi (Feedback / フィードバック) chịu biến động tải kém nhưng Mạch điều khiển (Control circuit / 制御回路) có quy mô nhỏ nên có thể nói là mang tính kinh tế. Đối với cơ cấu chấp hành của Robot, trước đây người ta sử dụng Động cơ Servo DC (DC servo motor / 直流サーボモータ) có tính điều khiển tốt để có thể đối phó với sự biến động tải, nhưng những năm gần đây Động cơ Servo AC (AC servo motor / 交流サーボモータ) với tính điều khiển và tính bảo trì tốt đang trở thành dòng chủ đạo.

Bảng 3.1 Đặc trưng của động cơ điện

Chủng loại	Nguyên lý phát sinh mô-men xoắn	Có/Không có chổi than	Có/Không có phản hồi	Quy mô bộ mạch điều khiển
Động cơ bước	Lực hút từ tính giữa các cực từ	Không	Không	Nhỏ
Động cơ Servo DC	Lực tác dụng lên cuộn dây phần ứng (Quy tắc bàn tay trái của Fleming)	Có	Có	Trung bình
Động cơ Servo AC	Như trên	Không	Có	Lớn

3.2 Động cơ Servo DC

≫ 3.2.1 Nguyên lý hoạt động của động cơ Servo DC

Một ví dụ về cấu tạo bên trong của Động cơ Servo DC (DC servo motor / 直流サーボモータ) được thể hiện trong Hình 3.1.

Stato (Stator / ステータ) (phía cố định) là Nam châm vĩnh cửu (Permanent magnet / 永久磁石), và Roto (Rotor / ロータ) (phía quay) là Phần ứng (Armature / 電機子) được quấn dây (cuộn cảm). Do tác dụng của Chổi than (Brush / ブラシ) và Cổ góp (Commutator / 整流子), Dòng điện (Current / 電流) được cung cấp cho Phần ứng (Armature / 電機子) từ các đầu cực đầu vào.

Khi có dòng điện chạy qua phần ứng, như thể hiện trong Hình 3.2,

lực theo Quy tắc bàn tay trái của Fleming (Fleming’s left hand rule / フレミングの左手の法則) sẽ tác dụng lên cuộn cảm. Độ lớn của Lực (Force / 力) là

F(t) = B L I_M(t) \tag{3.1}

Trong đó, $F$ : Lực (Đơn vị $\text{N}$ [Newton])

$B$ : Mật độ từ thông (Magnetic flux density / 磁束密度) (Đơn vị $\text{T}$ [Tesla])

$L$ : Chiều dài hiệu dụng của cuộn cảm (Đơn vị $\text{m}$ [Mét])

$I_M$ : Dòng điện (Đơn vị $\text{A}$ [Ampere])

Vì Mô-men xoắn (Torque / トルク) là tích của lực $F$ và bán kính quay $r$ , nên mô-men xoắn sinh ra $\tau$ sẽ tỷ lệ thuận với dòng điện. Tức là

\tau(t) = r F(t) = K_T I_M(t) \tag{3.2}

Ở đây, $K_T = r B L$ (Đơn vị $\text{Nm A}^{-1}$ ), giá trị này được gọi là Hằng số mô-men xoắn (Torque constant / トルク定数). Dưới tác dụng của Từ trường (Magnetic field / 磁界) và dòng điện này, cuộn cảm chuyển động với Vận tốc (Velocity / 速度) $v$ theo hướng vuông góc với từ trường. Lúc này, do cuộn cảm cắt các đường sức từ nên một Suất điện động (Electromotive force / 起電力) $e$ được sinh ra trên cuộn cảm. Độ lớn của nó là

e(t) = B L v(t) \tag{3.3}

Hướng của nó là hướng nhằm làm giảm dòng điện, tuân theo Quy tắc bàn tay phải của Fleming (Fleming’s right hand rule / フレミングの右手の法則) được thể hiện trong Hình 3.3. Ở đây, vì Vận tốc góc (Angular velocity / 角速度) quay của phần ứng $\dot{\theta}(t)$ là $\dot{\theta}(t) = v(t)/r$ , nên suất điện động có thể được biểu diễn là

e(t) = K_e \dot{\theta}(t) \tag{3.4}

Trong đó, $K_e = r B L$ (Đơn vị $\text{Vs/rad}$ ), giá trị này được gọi là Hằng số sức điện động ngược (Back EMF constant / 逆起電力定数). Cần lưu ý rằng Hằng số mô-men xoắn (Torque constant / トルク定数) và Hằng số sức điện động ngược (Back EMF constant / 逆起電力定数) có cách biểu diễn đơn vị khác nhau nhưng thực chất hoàn toàn là một. Khi đặt Điện áp (Voltage / 電圧) $E_M$ vào đầu cực đầu vào của động cơ, phương trình liên quan đến mạch điện được biểu diễn bằng

E_M(t) = R_M I_M(t) + K_e \dot{\theta}(t) + L_M \frac{d I_M(t)}{dt} \tag{3.5}

Trong đó, $R_M$ là Điện trở phần ứng (Armature resistance / 電機子抵抗) (Đơn vị $\Omega$ [Ohm]), $L_M$ là Độ tự cảm (Inductance / インダクタンス) (Đơn vị $\text{H}$ [Henry]). Nhìn chung, vì $L_M$ là một giá trị khá nhỏ nên số hạng thứ 3 ở vế phải của phương trình (3.5) thường có thể bỏ qua.

Mô-men xoắn do động cơ sinh ra sẽ làm gia tốc chuyển động quay của phần ứng. Tức là, nếu gọi Mô-men quán tính phần ứng (Armature moment of inertia / 電機子慣性モーメント) là $J_M$ , ta thu được phương trình mô-men xoắn sau:

\tau(t) = J_M \ddot{\theta}(t) + \tau_L \tag{3.6}

Ở đây, $\tau_L$ là Mô-men tải (Load torque / 負荷トルク). Sơ đồ khối biểu diễn mối quan hệ của các phương trình (3.2), (3.5), (3.6) được thể hiện trong Hình 3.4.

Trong trường hợp Mô-men tải (Load torque / 負荷トルク) $\tau_L$ bằng không và động cơ hoạt động đơn lẻ, mối quan hệ giữa góc động cơ và điện áp động cơ, sau khi khử $I_M$ và $\tau$ từ các phương trình (3.2), (3.5), (3.6), sẽ là

E_M(t) = \left( \frac{L_M J_M}{K_e K_T} \dddot{\theta}(t) + \frac{R_M J_M}{K_e K_T} \ddot{\theta}(t) + \dot{\theta}(t) \right) K_e \tag{3.7}

Đặt:

T_m = \frac{R_M J_M}{K_e K_T} \tag{3.8}

T_e = \frac{L_M}{R_M} \tag{3.9}

Và giả sử Biến đổi Laplace (Laplace transform / ラプラス変換) của $\dot{\theta}(t)$ , $E_M(t)$ lần lượt là $\dot{\theta}(s)$ , $E_M(s)$ , ta có thể suy ra

\begin{align*} \frac{\dot{\theta}(s)}{E_M(s)} &= \frac{1/K_e}{(T_m T_e s^2 + T_m s + 1)} \\ &\fallingdotseq \frac{1/K_e}{(T_m s + 1)(T_e s + 1)} \tag{3.10} \end{align*}

Ngoài ra, $T_m$ được gọi là Hằng số thời gian cơ học (Mechanical time constant / 機械的時定数) của động cơ, $T_e$ được gọi là Hằng số thời gian điện (Electrical time constant / 電気的時定数) của động cơ. Công thức xấp xỉ của phương trình (3.10) được thành lập khi $T_m \gg T_e$ . Thông thường, $T_e$ thường nhỏ hơn vài phần so với $T_m$ , nên công thức xấp xỉ này được thành lập. Dưới đây, biến đổi Laplace của hàm số $f(t)$ sẽ được biểu diễn là $f(s)$ .

≫ 3.2.2 Lựa chọn động cơ Servo DC

Việc lựa chọn động cơ servo được thực hiện dựa trên việc xem xét Hiệu suất (Performance / 性能), kích thước vòng ngoài, trọng lượng, phương thức làm mát, tính bảo trì, giá cả, v.v. của động cơ. Tại đây, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp lựa chọn dưới góc độ quan trọng nhất là hiệu suất của động cơ.

Như thể hiện trong Hình 3.5, hãy xem xét một cơ cấu servo truyền động một tải có Mô-men quán tính (Moment of inertia / 慣性モーメント) $J_L$ thông qua Cơ cấu giảm tốc (Reduction mechanism / 減速機構) có Tỷ số truyền (Gear ratio / ギヤ比) $\gamma$ kết nối với động cơ servo có Mô-men quán tính động cơ (Motor moment of inertia / モータ慣性モーメント) $J_M$ . Giả sử có thêm mô-men tải nhiễu động (chẳng hạn như ma sát) $\tau_d$ tác động vào. Trong trường hợp muốn gia tốc trục tải với Gia tốc góc (Angular acceleration / 角加速度) $\alpha_L$ , Gia tốc góc (Angular acceleration / 角加速度) $\alpha_M$ ở phía trục động cơ sẽ là

\alpha_M = \gamma \alpha_L \tag{3.11}

do đó, mô-men xoắn do động cơ xuất ra phải thỏa mãn

\tau \geqq J_M \gamma \alpha_L + \frac{J_L \alpha_L + \tau_d}{\gamma} \tag{3.12}

Số hạng thứ nhất ở vế phải của phương trình trên là mô-men xoắn cần thiết để truyền động tải ở phía động cơ, số hạng thứ hai là mô-men xoắn cần thiết để truyền động tải ở phía tải. Tỷ số truyền (Gear ratio / ギヤ比) $\gamma_o$ làm cho $\tau$ trở nên nhỏ nhất được tìm bằng cách lấy đạo hàm riêng của phương trình trên theo $\gamma$ và đặt $\partial \tau / \partial \gamma = 0$

\gamma_o = \sqrt{\frac{J_L \alpha_L + \tau_d}{J_M \alpha_L}} \tag{3.13}

Giá trị này được gọi là Tỷ số truyền tối ưu (Optimal gear ratio / 最適ギヤ比). Thế phương trình (3.13) vào phương trình (3.12), ta thu được

\frac{\tau^2}{J_M} \geqq 4(J_L \alpha_L + \tau_d)\alpha_L \tag{3.14}

Vế phải của phương trình (3.14) là giá trị chỉ được quyết định bởi điều kiện truyền động của tải, vế trái là giá trị đặc hữu của động cơ. Giá trị $\tau^2 / J_M$ này được gọi là Tỷ suất công suất (Power rate / パワーレート) (đơn vị $\text{W/s}$ ), là một chỉ số biểu thị hiệu suất của động cơ. Hơn nữa, tại thời điểm đạt Tỷ số truyền tối ưu (Optimal gear ratio / 最適ギヤ比), số hạng thứ 1 và thứ 2 ở vế phải của phương trình (3.12) sẽ bằng nhau, có nghĩa là mô-men xoắn cần thiết để truyền động chính bản thân động cơ và mô-men xoắn cần thiết để truyền động tải sẽ bằng nhau. Ngoài ra, khi $\tau_d = 0$ , Tỷ số truyền tối ưu (Optimal gear ratio / 最適ギヤ比) sẽ không phụ thuộc vào Gia tốc góc (Angular acceleration / 角加速度) và trở thành

\gamma_o = \sqrt{\frac{J_L}{J_M}} \tag{3.15}

Tổng Mô-men quán tính (Moment of inertia / 慣性モーメント) $J$ khi quy đổi về trục động cơ tại Tỷ số truyền (Gear ratio / ギヤ比) $\gamma$ là

J = J_M + \frac{J_L}{\gamma^2} \tag{3.16}

Do đó, khi $\gamma = \gamma_o$ , Mô-men quán tính (Moment of inertia / 慣性モーメント) của tải khi quy đổi về trục động cơ (số hạng thứ 2 vế phải phương trình (3.16)) và Mô-men quán tính động cơ (Motor moment of inertia / モータ慣性モーメント) sẽ bằng nhau. Bằng cách này, việc chọn Tỷ số truyền (Gear ratio / ギヤ比) sao cho mô-men xoắn trở nên nhỏ nhất, và làm cho Mô-men quán tính (Moment of inertia / 慣性モーメント) của tải khi quy đổi về trục động cơ bằng với Mô-men quán tính động cơ (Motor moment of inertia / モータ慣性モーメント) được gọi là Phối hợp quán tính (Inertia matching / イナーシャマッチング).

Trong việc lựa chọn động cơ, ta tìm mô-men xoắn tương ứng với gia tốc cực đại, và đảm bảo giá trị này nằm dưới Mô-men xoắn cực đại (Maximum torque / 最大トルク) của động cơ. Mô-men xoắn cực đại (Maximum torque / 最大トルク) này có nghĩa là mô-men xoắn lớn nhất mà động cơ có thể xuất ra, là một chỉ số hiệu suất mang tính tức thời. Ngoài ra, hiệu suất của động cơ khi chạy liên tục bị hạn chế bởi sự sinh nhiệt do Dòng điện (Current / 電流) chạy trong dây đồng của Phần ứng (Armature / 電機子). Sự sinh nhiệt này tỷ lệ thuận với Tổn hao công suất (Power loss / パワー損失) tại Phần ứng (Armature / 電機子). Nếu gọi dòng điện trung bình bình phương là $\bar{I}_M$ , thì tổn hao công suất $P_H$ tại phần ứng là

P_H = R_M \bar{I}_M^2 \tag{3.17}

Thế mối quan hệ giữa mô-men xoắn và dòng điện của phương trình (3.2) vào, tổn hao công suất được biểu diễn là

P_H = \frac{R_M \bar{\tau}^2}{K_T^2} \tag{3.18}

Ở đây, $\bar{\tau}$ là mô-men xoắn trung bình bình phương, khi lặp lại một mô hình truyền động (driving pattern) có chu kỳ $T$ với mô-men xoắn $\tau(t)$ , nó có thể được tính bằng

\bar{\tau} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \tau(t)^2 dt} \tag{3.19}

Mô-men xoắn trung bình bình phương tương ứng với tổn hao công suất cho phép chính là mô-men xoắn có thể xuất ra liên tục, và nó được gọi là Mô-men xoắn định mức (Rated torque / 定格トルク). Điều này có nghĩa là phải lựa chọn động cơ sao cho mô-men xoắn trung bình bình phương được tính từ mô hình hoạt động phải nhỏ hơn hoặc bằng Mô-men xoắn định mức (Rated torque / 定格トルク). Thông thường, giá trị của mô-men xoắn cực đại và mô-men xoắn định mức sẽ được ghi trong catalog.

Ví dụ 3.1 Hãy cùng tìm mô-men xoắn cực đại và Mô-men xoắn định mức (Rated torque / 定格トルク) khi động cơ lặp lại mô hình hoạt động như thể hiện trong Hình 3.6.

Giả sử $t_1 = 1\,\text{s}$ , $t_2 = 2\,\text{s}$ , $t_3 = 0.5\,\text{s}$ , $t_4 = 1.2\,\text{s}$ , $t_5 = 1.6\,\text{s}$ , $\tau_1 = 1\,\text{Nm}$ , $\tau_2 = 0.5\,\text{Nm}$ . Mô-men xoắn trung bình bình phương trong 1 chu kỳ là

\bar{\tau} = \sqrt{\frac{2t_1 \tau_1^2 + 2t_4 \tau_2^2}{2t_1 + t_2 + t_3 + 2t_4 + t_5}} \tag{3.20}

Từ đó, Mô-men xoắn định mức (Rated torque / 定格トルク) sẽ là $0.553\,\text{Nm}$ . Vì mô-men xoắn cực đại là $\tau_1$ nên nó bằng $1\,\text{Nm}$ .

≫ 3.2.3 Điều khiển vị trí bằng động cơ Servo DC

Hệ thống điều khiển servo vị trí (Position servo control system / 位置サーボ制御系) sử dụng Động cơ Servo DC (DC servo motor / 直流サーボモータ) được cấu thành từ Bộ khuếch đại Servo (Servo amplifier / サーボアンプ), cảm biến vị trí, cảm biến vận tốc và các phần tử bù (compensation elements). Sơ đồ khối điều khiển cơ bản của nó được thể hiện trong Hình 3.7. Trong hình này, $K_p$ , $K_v$ , $K_c$ lần lượt là các phần tử bù tỷ lệ cho vị trí, vận tốc và Dòng điện (Current / 電流).

(1) Bộ khuếch đại Servo (Servo amplifier / サーボアンプ)

Bộ khuếch đại Servo (Servo amplifier / サーボアンプ) là bộ khuếch đại công suất giúp khuếch đại Công suất điện (Electric power / 電力) cần thiết để động cơ servo DC có thể truyền động tải. Có loại bộ khuếch đại servo tuyến tính (linear servo amplifier) giúp khuếch đại tín hiệu đầu vào theo phương thức tương tự (analog), và bộ khuếch đại servo Điều chế độ rộng xung PWM (Pulse Width Modulation / PWM). Gần đây, bộ khuếch đại servo PWM có hiệu suất cao thường được sử dụng phổ biến.

Bộ khuếch đại servo PWM, như thể hiện trong Hình 3.8, biến đổi tín hiệu đầu vào (a) thành một chuỗi xung hình chữ nhật (b) có độ cao âm dương bằng $E_r$ , và độ rộng tỷ lệ thuận với độ lớn của tín hiệu đầu vào. Tức là, nó là một Bộ khuếch đại Servo (Servo amplifier / サーボアンプ) mang đặc tính mà trong đó giá trị trung bình theo thời gian của một chu kỳ chuỗi xung hình chữ nhật tỷ lệ thuận với giá trị trung bình theo thời gian của tín hiệu đầu vào.

Bộ khuếch đại Servo (Servo amplifier / サーボアンプ) nói chung được áp dụng vòng lặp Phản hồi dòng điện (Current feedback / 電流フィードバック) với mục đích cải thiện Đặc tính đáp ứng điện (Electrical response characteristic / 電気的応答特性) của hệ thống động cơ. Để đơn giản hóa, nếu ta giả định Hệ số khuếch đại (Amplification factor / 増幅率) của bộ khuếch đại servo bằng $1$ , thì mối quan hệ giữa đầu vào $u$ và đầu ra $E_M$ của bộ khuếch đại servo được thể hiện trong Hình 3.7 sẽ là

E_M(t) = u(t) - K_c I_M(t) \tag{3.21}

Thế phương trình này vào phương trình (3.5), ta thu được

u(t) = (R_M + K_c)I_M(t) + K_e \dot{\theta}(t) + L_M \frac{d I_M(t)}{dt} \tag{3.22}

Phương trình (3.22) chính là phương trình (3.5) sau khi đã thay thế $E_M$ , $R_M$ tương ứng thành $u$ và $(R_M + K_c)$ . Các phương trình từ (3.7) đến (3.10) cũng có thể được thay thế tương tự. Điều này có nghĩa là, nếu coi bộ khuếch đại servo và động cơ như một thể thống nhất, nó sẽ tương đương với việc Điện trở (Resistance / 抵抗) của động cơ tăng từ $R_M$ lên $(R_M + K_c)$ . Hệ quả của việc này là Hằng số thời gian cơ học (Mechanical time constant / 機械的時定数) sẽ trở nên lớn hơn, nhưng Hằng số thời gian điện (Electrical time constant / 電気的時定数) lại nhỏ đi, nhờ đó Đặc tính đáp ứng điện (Electrical response characteristic / 電気的応答特性) của hệ thống động cơ được cải thiện. Sự suy giảm của đặc tính đáp ứng cơ học sẽ được cải thiện thông qua Phản hồi vận tốc (Velocity feedback / 速度フィードバック). Phần dưới đây, chúng ta sẽ coi một hệ thống đã áp dụng Phản hồi dòng điện (Current feedback / 電流フィードバック) như một hệ thống động cơ. Trong hệ thống này, $T_m \gg T_e$ được thành lập.

(2) Điều khiển PD (PD control / PD制御)

Trong Điều khiển vị trí (Position control / 位置制御) của động cơ servo, người ta thường áp dụng điều khiển PD (Proportional and Derivative / PD) như được thể hiện trong Hình 3.9. Đặc tính của nó như sau. Lưu ý rằng để đơn giản hóa, ta có thể bỏ qua Độ tự cảm (Inductance / インダクタンス) của động cơ.

Gọi góc mục tiêu của góc động cơ $\theta$ là $\theta_d$ , Điện áp đầu vào (Input voltage / 入力電圧) $E_M$ áp vào động cơ sẽ được biểu diễn bằng

E_M = -k_p (\theta(t) - \theta_d(t)) - k_v \dot{\theta}(t) \tag{3.23}

Trong đó, $k_p$ và $k_v$ là Độ lợi phản hồi (Feedback gain / フィードバックゲイン) của vị trí và vận tốc trong hệ thống vòng kín. Gọi tổng Mô-men quán tính (Moment of inertia / 慣性モーメント) của tải khi quy đổi về trục động cơ là $J$ , mô-men nhiễu động do ma sát tĩnh v.v. là $\tau_d$ , phương trình mô-men xoắn của phương trình (3.6) sẽ được thay thế bằng

J \ddot{\theta}(t) = \tau(t) + \tau_d(t) \tag{3.24}

Nếu coi Độ tự cảm (Inductance / インダクタンス) có thể bỏ qua và $L_M = 0$ , từ phương trình (3.5), (3.23) ta có thể suy ra

I_M(t) = \frac{1}{R_M} \left( -k_p (\theta(t) - \theta_d(t)) - (k_v + K_e) \dot{\theta}(t) \right) \tag{3.25}

Thế lần lượt phương trình (3.2), (3.25) vào phương trình (3.24), ta thu được

J \ddot{\theta}(t) = \frac{K_T}{R_M} \left( -k_p (\theta(t) - \theta_d(t)) - (k_v + K_e) \dot{\theta}(t) \right) + \tau_d(t) \tag{3.26}

Lấy giá trị ban đầu bằng không và thực hiện Biến đổi Laplace (Laplace transform / ラプラス変換) cả hai vế của phương trình trên, ta được

\left( J s^2 + \frac{K_T (k_v + K_e)}{R_M} s + \frac{K_T k_p}{R_M} \right) \theta(s) = \frac{K_T k_p}{R_M} \theta_d(s) + \tau_d(s) \tag{3.27}

Từ đó, ta có

\theta(s) = G(s) \theta_d(s) + a_0 G(s) \tau_d(s) \tag{3.28}

Trong đó, hệ số $a_0$ là

a_0 = \frac{R_M}{k_p K_T} \tag{3.29}

và $G(s)$ là Hàm truyền đạt (Transfer function / 伝達関数) từ $\theta_d$ tới $\theta$ khi $\tau_d = 0$

G(s) = \frac{a_1}{s^2 + a_2 s + a_1} = \frac{\omega_c^2}{s^2 + 2\zeta \omega_c s + \omega_c^2} \tag{3.30}

với các tham số:

a_1 = \frac{k_p K_T}{R_M J}, \quad a_2 = \frac{K_T (k_v + K_e)}{R_M J}, \quad \omega_c = \sqrt{a_1}, \quad \zeta = \frac{a_2}{2\sqrt{a_1}} \tag{3.31}

Khi $\tau_d = 0$ , Hàm truyền đạt (Transfer function / 伝達関数) là hệ bậc 2 tiêu chuẩn. Bằng cách chọn $\zeta$ sao cho có dạng sóng đáp ứng thích hợp, và chọn $\omega_c$ để cải thiện tính đáp ứng nhanh trong phạm vi có thể thực hiện, ta sẽ quyết định được giá trị của $k_p$ và $k_v$ . Hình 3.10 thể hiện Đáp ứng quá độ (Transient response / 過渡応答) của hệ bậc 2. Trục tung được vô hướng hóa bằng giá trị ban đầu $\theta(0)$ , trục hoành được vô hướng hóa bằng $\omega_c$ . Có thể nói $\zeta$ nằm trong khoảng $0.7 \sim 1.0$ là thích hợp.

Tiếp theo, hãy xem xét sai số vị trí của hệ thống điều khiển PD đối với một giá trị mục tiêu $\theta_d$ không đổi. Giả sử sai số vị trí $e_p$ là

e_p(t) = \theta_d - \theta(t) \tag{3.32}

Thế mối quan hệ này vào phương trình (3.26) và thực hiện Biến đổi Laplace (Laplace transform / ラプラス変換), ta thu được

e_p(s) = -a_0 G(s) \tau_d(s) \tag{3.33}

Khi $\tau_d$ là nhiễu động trạng thái ổn định (steady-state disturbance), sai số vị trí trạng thái ổn định $e_p(\infty)$ theo định lý giá trị cuối sẽ là

\begin{align*} e_p(\infty) &= \lim_{s \to 0} \left( -s a_0 G(s) \frac{\tau_d}{s} \right) \\ &= -a_0 \tau_d \tag{3.34} \end{align*}

Điều này chỉ ra rằng, khi $\tau_d \neq 0$ , dù cho có làm lớn $k_p$ thì sai số vị trí trạng thái ổn định vẫn phát sinh. Lượng sai số sẽ tỷ lệ thuận với $\tau_d$ và tỷ lệ nghịch với $k_p$ .

(3) Điều khiển PID (PID control / PID制御)

Khi tồn tại Nhiễu động trạng thái ổn định (Steady-state disturbance / 定常外乱), một phương pháp điều khiển để làm cho Sai số vị trí trạng thái ổn định (Steady-state position error / 定常位置偏差) đối với mục tiêu không đổi $\theta_d$ trở về 0 là Điều khiển PID (Proportional, Integral and Derivative / PID制御) như được thể hiện trong Hình 3.11.

Điện áp đầu vào (Input voltage / 入力電圧) $E_M$ cấp cho động cơ trong hệ thống điều khiển này là

E_M = -k_p (\theta(t) - \theta_d) - k_v \dot{\theta}(t) - k_I \int_{0}^{t} (\theta(t) - \theta_d) dt \tag{3.35}

Trong đó, $k_I$ là Độ lợi phản hồi (Feedback gain / フィードバックゲイン) của khâu tích phân. Biến đổi Laplace (Laplace transform / ラプラス変換) của sai số vị trí lúc này là

e_p(s) = \frac{-a_0 a_1 s}{s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_1 \frac{k_I}{k_p}} \tau_d(s) \tag{3.36}

Sai số vị trí trạng thái ổn định (Steady-state position error / 定常位置偏差) theo Định lý giá trị cuối (Final value theorem / 最終値の定理) sẽ là

e_p(\infty) = 0 \tag{3.37}

Do đó, ngay cả khi có nhiễu động trạng thái ổn định tác dụng, sai số vị trí trạng thái ổn định vẫn có thể được đưa về 0 nhờ Điều khiển PID (PID control / PID制御).

3.3 Động cơ Servo AC

Động cơ Servo AC (AC servo motor / 交流サーボモータ) không sử dụng chổi than nên có Độ bền (Durability / 耐久性) và Độ tin cậy (Reliability / 信頼性) ưu việt. Mặt khác, cần phải thiết lập mạch điện tử để thực hiện Tác dụng chỉnh lưu (Rectification / 整流作用) thay cho chổi than.

Hình 3.12 cho thấy một ví dụ về cấu tạo của Động cơ Servo AC (AC servo motor / 交流サーボモータ). Roto (Rotor / ロータ) là Nam châm vĩnh cửu (Permanent magnet / 永久磁石), và Stato (Stator / ステータ) là Nam châm điện (Electromagnet / 電磁石). Vị trí góc của roto được phát hiện bằng Phần tử Hall (Hall element / ホール素子) hoặc Bộ mã hóa vòng quay (Rotary encoder / ロータリエンコーダ), và hệ thống sẽ đưa vào điện áp tương ứng với vị trí góc đó.

Hình 3.13 thể hiện sơ đồ khối của bộ khuếch đại servo của động cơ xoay chiều hai pha. Gọi khoảng cách do Pha A (Pha B) chiếm giữ hay Bước cực từ (Magnetic pole pitch / 磁極ピッチ) là $\pi$ , tùy thuộc vào vị trí góc $\theta$ của động cơ, Hằng số mô-men xoắn (Torque constant / トルク定数) của cuộn dây Pha A và cuộn dây Pha B lần lượt được biểu diễn là

k_A = K_T \sin 2\theta \tag{3.38_a}

k_B = K_T \cos 2\theta \tag{3.38_b}

Ở đây, nếu giả sử Lệnh dòng điện (Current command / 電流指令) của cuộn dây Pha A và cuộn dây Pha B lần lượt là

I_A = I \sin 2\theta \tag{3.39_a}

I_B = I \cos 2\theta \tag{3.39_b}

Thì mô-men xoắn đầu ra của động cơ sẽ là tổng mô-men xoắn sinh ra của từng pha và trở thành

\tau = k_A I_A + k_B I_B = K_T I \tag{3.40}

Phương trình quan hệ này cho thấy lệnh dòng điện và mô-men xoắn sinh ra tỷ lệ thuận với nhau, đây là mối quan hệ giống hệt với phương trình (3.2) của động cơ servo DC. Do động cơ AC dùng mạch điện tử thay cho việc động cơ DC điều khiển Dòng điện Roto (Rotor current / 回転子電流) bằng chổi than và cổ góp, nên nó còn được gọi là Động cơ DC không chổi than (Brushless DC motor / ブラシレス直流モータ). Chức năng của nó giống với động cơ DC có chổi than, và phương pháp lựa chọn Hiệu suất (Performance / 性能) động cơ cũng tương tự.

3.4 Cơ cấu chấp hành áp điện

Cơ cấu vi động được cấu thành bằng cách sử dụng Phần tử áp điện (Piezoelectric element / 圧電素子) được gọi là Cơ cấu chấp hành áp điện (Piezo actuator / 圧電アクチュエータ). Phần tử áp điện (Piezoelectric element / 圧電素子) là một loại phần tử sinh ra Biến dạng (Strain / ひずみ) khi có Điện áp (Voltage / 電圧) đặt vào.

Khi đặt điện áp $E$ vào một phần tử áp điện đã được phân cực như trong Hình 3.14 (a) thì sẽ phát sinh biến dạng như trong cùng Hình (b). Nếu gọi độ dày của phần tử là $t$ , Lượng chuyển vị (Displacement / 変位量) là $\Delta t$ , và Hằng số biến dạng áp điện (Piezoelectric strain constant / 圧電ひずみ定数) là $d_{33}$ , thì biến dạng $s$ này là

s = \frac{\Delta t}{t} = d_{33} \frac{E}{t} \tag{3.41}

\Delta t = d_{33} E \tag{3.42}

Loại Cơ cấu chấp hành (Actuator / アクチュエータ) được cấu tạo bằng cách dán ghép 2 phần tử như vậy lại với nhau theo hướng chuyển vị được gọi là Cơ cấu chấp hành kiểu Bimorph (Bimorph type actuator / バイモルフ型アクチュエータ) (Hình 3.15 (a)),

có thể tạo ra chuyển vị khoảng vài trăm $\text{\mu m}$ . Ngoài ra, loại được xếp chồng $n$ lớp theo hướng vuông góc với hướng chuyển vị được gọi là Cơ cấu chấp hành kiểu xếp lớp (Laminated actuator / 積層型アクチュエータ) (Hình 3.15 (b)), có thể đạt được chuyển vị vài $\text{\mu m}$ . Loại xếp lớp này là sự xếp lớp song song về mặt điện và nối tiếp về mặt cơ học, khi kẹp chặt (clamp) cả hai đầu thì

F = S Y \frac{\Delta L}{L} \tag{3.43}

sẽ sinh ra một lực $F$ . Ở đây, $F$ là lực, $S$ là Diện tích mặt cắt ngang (Cross-sectional area / 断面積), $Y$ là Mô-đun Young (Young’s modulus / ヤング率), $L$ là chiều dài của cơ cấu chấp hành xếp lớp, $\Delta L$ là chuyển vị khi không bị kẹp.

Bằng cách kết hợp các cơ cấu chấp hành xếp lớp, ta có thể tạo ra các cơ cấu vi động có nhiều Bậc tự do (Degree of freedom / 自由度). Hình 3.16 là một Cơ cấu chấp hành phẳng 3 bậc tự do (3-DOF planar actuator / 3自由度平面アクチュエータ) được cấu thành từ 6 cơ cấu chấp hành áp điện. Trong hình, PZ là Phần tử áp điện (Piezoelectric element / 圧電素子), S là Cảm biến tiệm cận (Proximity sensor / 近接距離センサ). Sự chuyển vị theo hướng $x,\ y$ và chuyển động quay được thực hiện dựa trên nguyên lý di chuyển của con sâu đo (inchworm). Lấy ví dụ, quá trình di chuyển 1 bước theo hướng trục $x$ được thực hiện theo các bước sau:

Chỉ đặt Điện trường (Electric field / 電界) lên phần tử áp điện $\text{PZ}_1$ , kẹp và cố định phần chuyển động bằng một lực mạnh giữa tấm trên và tấm dưới của phần cố định.
Trong trạng thái đó, đặt Điện trường (Electric field / 電界) lên phần tử áp điện $\text{PZ}_x$ để làm dịch chuyển 1 bước theo hướng trục $x$ .
Từ trạng thái 2), tiếp tục đặt điện trường lên phần tử áp điện $\text{PZ}_3$ , sự giãn nở này sẽ duy trì giữ phần chuyển động.
Từ trạng thái 3), giảm điện trường của phần tử áp điện $\text{PZ}_1$ về 0, tiếp theo giảm điện trường của phần tử áp điện $\text{PZ}_x$ về 0.
Từ trạng thái 4), đặt điện trường lên phần tử áp điện $\text{PZ}_1$ , sau đó giảm điện trường của phần tử áp điện $\text{PZ}_3$ về 0 và quay trở lại trạng thái 1).

Phạm vi di chuyển của Cơ cấu chấp hành áp điện (Piezo actuator / 圧電アクチュエータ) này là $2\,\text{mm}$ vuông, với Độ phân giải chuyển vị (Displacement resolution / 変位分解能) là $0.5\,\text{\mu m}$ . Cơ cấu này tận dụng một cách rất hiệu quả các ưu điểm của Phần tử áp điện (Piezoelectric element / 圧電素子) là lực phát sinh mạnh và chuyển vị vi mô.

Bài tập thực hành (Exercises / 演習問題)

3.1 Cho Điện trở phần ứng (Armature resistance / 電機子抵抗) $R_M = 2.66\,\Omega$ , Hằng số mô-men xoắn (Torque constant / トルク定数) $K_T = 7.07 \times 10^{-2}\,\text{Nm A}^{-1}$ , Hằng số sức điện động ngược (Back EMF constant / 逆起電力定数) $K_e = 7.07 \times 10^{-2}\,\text{V s/rad}$ , Mô-men quán tính phần ứng (Armature moment of inertia / 電機子慣性モーメント) $J_M = 1.51 \times 10^{-5}\,\text{kg m}^2$ , Độ tự cảm (Inductance / インダクタンス) $L_M = 2.4\,\text{mH}$ , Mô-men xoắn định mức (Rated torque / 定格トルク) $\bar{\tau} = 0.17\,\text{Nm}$ , hãy tìm Tỷ suất công suất (Power rate / パワーレート), Hằng số thời gian cơ học (Mechanical time constant / 機械的時定数) và Hằng số thời gian điện (Electrical time constant / 電気的時定数) của động cơ.

3.2 Sử dụng Động cơ Servo (Servo motor / サーボモータ), giả sử lặp lại việc khởi động và dừng tại góc $\theta_0$ theo chu kỳ $2t_1$ . Hãy tìm mô-men xoắn cực đại và Mô-men xoắn định mức (Rated torque / 定格トルク) trong mô hình vận tốc như Hình 3.17. Giả định rằng tổng Mô-men quán tính (Moment of inertia / 慣性モーメント) của tải là $J$ .

3.3 Trong hệ thống truyền động động cơ servo có mô-men tải nhiễu động bằng không, hãy tìm Tỷ số truyền tối ưu (Optimal gear ratio / 最適ギヤ比) khi Mô-men quán tính (Moment of inertia / 慣性モーメント) tải $J_L$ lớn gấp 9 lần Mô-men quán tính phần ứng (Armature moment of inertia / 電機子慣性モーメント) $J_M$ .

3.4 Tìm Hàm truyền đạt (Transfer function / 伝達関数) $G(s) = \dot{\theta}(s)/\dot{\theta}_d(s)$ của hệ thống điều khiển servo vận tốc như Hình 3.18, đồng thời trình bày về hiệu quả của Phản hồi dòng điện (Current feedback / 電流フィードバック) và Phản hồi vận tốc (Velocity feedback / 速度フィードバック).