Phân tích sai số và nhận dạng tham số (Error Analysis and Parameter Identification / 誤差解析とパラメータ同定)

Để tính toán động học của Robot, cần có bốn tham số Khâu (Link parameters / リンクパラメータ) hình học theo phương pháp D-H. Đối với tính toán động lực học, cần thêm các tham số động lực học (Dynamics parameters / 動力学パラメータ) của từng Khâu như Khối lượng (Mass / 質量), Tensor quán tính (Inertia tensor / 慣性テンソル), Khối tâm (Center of mass / 質量中心), Lực ma sát Coulomb (Coulomb friction force / クーロン摩擦力), Hệ số ma sát nhớt (Viscous friction coefficient / 粘性摩擦係数), v.v. Nếu giá trị của tham số Khâu hoặc tham số động lực học không chính xác, sẽ rất khó để điều khiển chính xác vị trí và tư thế của Khâu tác động cuối (End-effector / 手先) theo mục tiêu. Ngoài ra, nó còn gây ra các vấn đề như không đạt được đặc tính động lực học mong muốn. Trong chương này, chúng ta sẽ đề cập đến ảnh hưởng của sai số tham số Khâu đối với vị trí và tư thế của Khâu tác động cuối, phương pháp Hiệu chuẩn (Calibration / キャリブレーション) tham số Khâu và phương pháp Nhận dạng (Identification / 同定) tham số động lực học.

6.1 Hiệu chuẩn tham số Khâu (Link parameter calibration / リンクパラメータのキャリブレーション)

≫ 6.1.1 Lựa chọn tham số Khâu

Bốn tham số Khâu theo phương pháp D-H có thể mô tả vị trí và tư thế tương đối giữa các Khâu. Tuy nhiên, khi sử dụng các tham số theo phương pháp D-H, có những trường hợp gây bất lợi cho việc Hiệu chuẩn (Calibration / キャリブレーション) tham số. Ví dụ, như được thể hiện trong Hình 6.1, khi hai trục khớp liền kề là trục $\boldsymbol{z}_{i-1}$ và trục $\boldsymbol{z}_i$ song song với nhau (khi $\alpha_i = 0$), thì $d_i$ có thể lấy giá trị tùy ý, và $a_i$ trở thành khoảng cách giữa hai trục. Mặt khác, khi trục $\boldsymbol{z}_{i-1}$ và trục $\boldsymbol{z}_i$ nằm trên cùng một mặt phẳng nhưng bị lệch một chút so với trạng thái song song (khi $\alpha_i \approx 0$), khoảng cách trục $d_i$ sẽ trở thành một giá trị rất lớn, và chiều dài Khâu $a_i$ sẽ bằng $0$. Như vậy, ở lân cận góc chéo (Twist angle / ねじれ角) $\alpha_i = 0$, sự thay đổi của $d_i$ và $a_i$ đối với sự biến thiên vi phân của $\alpha_i$ trở nên cực kỳ nhạy cảm hoặc gián đoạn. Trong quá trình hiệu chuẩn, sai số đo lường của $\alpha_i$ sẽ ảnh hưởng xấu rất lớn đến độ chính xác của $d_i$ và $a_i$. Do đó, cần phải hiệu chỉnh lại các tham số của phương pháp D-H.

Hình 6.1: Tham số Khâu ở lân cận góc chéo $\alpha_i = 0$

Phương pháp hiệu chỉnh được thực hiện bằng cách đưa vào góc chéo $\beta_i$ như Hình 6.2, thể hiện mối quan hệ tương đối của các Khâu liền kề bằng 5 tham số $\theta_i, a_i, d_i, \alpha_i, \beta_i$, gọi là Phương pháp D-H hiệu chỉnh (Modified D-H method / 修正D-H法). Phương pháp này chọn giao điểm của mặt phẳng vuông góc với trục $\boldsymbol{z}_{i-1}$ và trục $\boldsymbol{z}_i$ làm gốc $O’_i$, và lấy trục $\boldsymbol{x}_{i-1}$ theo hướng từ gốc $O_{i-1}$ đến gốc $O’_i$. Trục $\boldsymbol{y}_{i-1}$ được xác định sao cho tạo thành hệ tọa độ bàn tay phải. Ngoài ra, $\beta_i$ là góc quay quanh trục $\boldsymbol{y}_{i-1}$ theo chiều ren phải từ trục $\boldsymbol{z}_{i-1}$ đến trục $\boldsymbol{z}_i$, và phép quay quanh trục $\boldsymbol{y}_{i-1}$ này sẽ làm trục $\boldsymbol{z}_{i-1}$ di chuyển thành trục $\boldsymbol{z}’_{i-1}$, trục $\boldsymbol{x}_{i-1}$ di chuyển thành trục $\boldsymbol{x}’_{i-1}$. Định nghĩa các trục tọa độ như vậy thì $\theta_i, a_i, d_i$ sẽ có cùng định nghĩa như phương pháp D-H, và $\alpha$ là góc quay quanh trục $\boldsymbol{x}’_{i-1}$ theo chiều ren phải từ trục $\boldsymbol{z}’_{i-1}$ đến trục $\boldsymbol{z}_i$. Như thể hiện trong Hình 6.2, khi trục $\boldsymbol{z}_{i-1}$ và trục $\boldsymbol{z}_i$ gần như song song, vị trí của gốc $O_{i-1}$ trên trục $\boldsymbol{z}_{i-1}$ có thể thiết lập tùy ý, do đó $d_i$ là tùy ý, và $a_i$ là một giá trị không đổi. Theo cách này, các tham số hiệu chỉnh này không bị nhạy cảm về $d_i$ hay $a_i$ đối với những biến thiên nhỏ của $\alpha_i$, nên có thể coi là các tham số Khâu phù hợp cho việc hiệu chuẩn. Do đó, ta chỉ cần cho bốn tham số của phương pháp D-H và các tham số $\theta_i, a_i, d_i$ và $\alpha_i$ của phương pháp D-H hiệu chỉnh trùng khớp với nhau, gán góc chéo $\beta_i$ bằng 0, và tiến hành hiệu chuẩn dựa trên giá trị này. Trong trường hợp này, ma trận biến đổi thuần nhất (Homogeneous transformation matrix / 同次変換行列) ${}^{i-1}\boldsymbol{T}^*_i$ theo phương pháp D-H hiệu chỉnh được cho bởi công thức sau:

Trong đó, ${}^{i-1}\boldsymbol{T}_i$ tương ứng với ma trận biến đổi thuần nhất theo phương pháp D-H. Lưu ý rằng khi các trục khớp liền kề trực giao (vuông góc) hoặc gần với trạng thái đó, sự biến đổi của $d_i$ và $a_i$ đối với sự thay đổi vi phân của $\alpha_i$ không nhạy cảm, nên ta chỉ cần thực hiện hiệu chuẩn với 4 tham số của phương pháp D-H là đủ.

Hình 6.2: Mối quan hệ giữa $\alpha_i$ và $\beta_i$ trong phương pháp D-H hiệu chỉnh

≫ 6.1.2 Phân tích sai số (Error analysis / 誤差解析)

Xét trường hợp vị trí và tư thế của Khâu tác động cuối $\boldsymbol{r}$ được biểu diễn bằng các tham số của phương pháp D-H hiệu chỉnh:

Ở đây, giả sử $\boldsymbol{\alpha}$ là một vector chứa các phần tử $\alpha_i$ của toàn bộ hệ tọa độ Khâu, tức là $\boldsymbol{\alpha} = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]^T$. Tương tự, gọi $\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{d}, \boldsymbol{\beta}$ là các vector có các phần tử lần lượt là $\theta_i, a_i, d_i, \beta_i$. Khi đó, phương trình (6.2) có thể được viết lại thành: