4. Cơ cấu và Động học (Kinematics / 運動学) của Cánh tay Robot 2

Estimated reading: 27 minutes 50 views

4.4 Giải tích vận tốc và gia tốc của Robot

≫ 4.4.1 Vận tốc và gia tốc của vị trí tư thế phần đầu cuối

Gọi vectơ vị trí $3 \times 1$ của hệ tọa độ phần đầu cuối là $\boldsymbol{p}_H = [p_x, \ p_y, \ p_z]^T$ , và vectơ tư thế $3 \times 1$ tạo bởi góc Euler là $\boldsymbol{\eta}_H = [\phi, \theta, \psi]^T$ . Khi đó, vectơ vị trí và tư thế $\boldsymbol{r}$ của hệ tọa độ phần đầu cuối được biểu diễn thành:

\boldsymbol{r} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{p}_H \\ \boldsymbol{\eta}_H \end{bmatrix} \tag{4.84}

Tốc độ dịch chuyển vị trí và tư thế của hệ tọa độ phần đầu cuối có thể coi là đạo hàm theo thời gian của nó:

\dot{\boldsymbol{r}} = \begin{bmatrix} \dot{\boldsymbol{p}}_H \\ \dot{\boldsymbol{\eta}}_H \end{bmatrix} \tag{4.85}

Trong trường hợp này, $\dot{\boldsymbol{p}}_H$ biểu thị tốc độ thay đổi vị trí của gốc tọa độ phần đầu cuối. Khi biểu diễn $\boldsymbol{\eta}_H$ dưới dạng góc Euler $x\text{-}y\text{-}z$ , các góc $\phi, \theta, \psi$ có mối quan hệ như trong Hình 4.4. Do đó, đạo hàm $\dot{\boldsymbol{\eta}}_H = [\dot{\phi}, \dot{\theta}, \dot{\psi}]^T$ của $\boldsymbol{\eta}_H$ biểu thị sự tổng hợp vận tốc quay quanh các trục của Hệ tọa độ xiên (Non-orthogonal coordinate system / 斜交座標系) phụ thuộc vào giá trị của $\boldsymbol{\eta}_H$ . Ngoài phương pháp biểu diễn này, tốc độ thay đổi tư thế cũng có thể được thể hiện bằng vectơ vận tốc góc quay quanh Trục quay tức thời (Instantaneous axis of rotation / 瞬間回転軸).

Như thể hiện trong Hình 4.20, sự thay đổi tư thế của hệ tọa độ phần đầu cuối $\Sigma_H$ đối với hệ tọa độ cơ sở $\Sigma_0$ có thể được biểu diễn bằng một vectơ $\boldsymbol{\omega}_H$ hướng theo trục quay tức thời và có độ lớn bằng vận tốc góc quay. Tức là,

$$\dot{\boldsymbol{r}}_\omega = \begin{bmatrix} \dot{\boldsymbol{p}}_H \\ \boldsymbol{\omega}_H \end{bmatrix} \tag{4.86}$$

đôi khi được biểu diễn như vậy. $\boldsymbol{\omega}_H$ này được gọi là Vectơ vận tốc góc (Angular velocity vector / 角速度ベクトル). Cần chỉ ra rằng tích phân của $\boldsymbol{\omega}_H$ này không có ý nghĩa vật lý rõ ràng. Giữa $\dot{\boldsymbol{\eta}}_H$ và $\boldsymbol{\omega}_H$, từ sự tổng hợp của vận tốc quay $\dot{\phi}, \dot{\theta}, \dot{\psi}$ trong hệ tọa độ xiên, ta có thể suy ra mối quan hệ:

$$\boldsymbol{\omega}_H = \boldsymbol{\Pi} \dot{\boldsymbol{\eta}}_H \tag{4.87}$$

Trong đó,

$$\boldsymbol{\Pi} = \begin{bmatrix} 0 & -\text{S}\phi & \text{C}\phi\text{S}\theta \\ 0 & \text{C}\phi & \text{S}\phi\text{S}\theta \\ 1 & 0 & \text{C}\theta \end{bmatrix} \tag{4.88}$$

Mối quan hệ này có được vì trong Hình 4.4, $\dot{\phi}$ là phép quay quanh trục $\boldsymbol{z}$, nên nó xuất hiện trong $\boldsymbol{\omega}_H$ dưới dạng

$$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \dot{\phi}$$

Còn $\dot{\theta}$ là phép quay quanh trục $\boldsymbol{y}’$ vuông góc với mặt phẳng $\boldsymbol{zx}’$, nên nó xuất hiện trong $\boldsymbol{\omega}_H$ dưới dạng

$$\text{Rot}(\boldsymbol{z}, \phi) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \dot{\theta} = \begin{bmatrix} -\text{S}\phi \\ \text{C}\phi \\ 0 \end{bmatrix} \dot{\theta}$$

Và $\dot{\psi}$ là phép quay quanh trục $\boldsymbol{z}”$, nên nó xuất hiện trong $\boldsymbol{\omega}_H$ dưới dạng

$$\text{Rot}(\boldsymbol{z}, \phi) \text{Rot}(\boldsymbol{y}, \theta) \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \dot{\psi} = \begin{bmatrix} \text{C}\phi\text{S}\theta \\ \text{S}\phi\text{S}\theta \\ \text{C}\theta \end{bmatrix} \dot{\psi}$$

Từ đó, suy ra được phương trình (4.88). Lưu ý rằng, khi $\text{S}\theta = 0$, định thức của $\boldsymbol{\Pi}$ bằng không, do đó có thể biểu diễn bằng $\boldsymbol{\omega}_H$ nhưng không thể biểu diễn bằng $\dot{\boldsymbol{\eta}}_H$. Tư thế như vậy được gọi là Tư thế kỳ dị trên biểu diễn (Singular configuration in expression / 表現上の特異姿勢) bởi $\dot{\boldsymbol{\eta}}_H$. Ngoài ra, khi giới hạn trong chuyển động phẳng ($\theta = \dot{\theta} = \psi = \dot{\psi} = 0$), nội dung biểu diễn của $\boldsymbol{\omega}_H$ và $\dot{\boldsymbol{\eta}}_H$ là hoàn toàn trùng khớp.

Mối quan hệ giữa vận tốc vị trí tư thế phần đầu cuối $\dot{\boldsymbol{r}}$ và vận tốc khớp $\dot{\boldsymbol{q}}$ có được bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian của phương trình (4.49):

$$\dot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{J}(\boldsymbol{q})\dot{\boldsymbol{q}} \tag{4.89}$$

Trong đó, $\boldsymbol{J}$ là Ma trận Jacobian (Jacobian matrix / ヤコビ行列) kích thước $m \times n$ cho bởi $\partial \boldsymbol{f}/\partial \boldsymbol{q}^T$ (xem phương trình (4.63)), và là một hàm của biến khớp $\boldsymbol{q}$. Tương tự, mối quan hệ giữa $\dot{\boldsymbol{r}}_\omega$ và $\dot{\boldsymbol{q}}$ có thể biểu diễn bằng

$$\dot{\boldsymbol{r}}_\omega = \boldsymbol{J}_\omega(\boldsymbol{q})\dot{\boldsymbol{q}} \tag{4.90}$$

$\boldsymbol{J}_\omega$ không được cho bởi phương trình (4.63) do $\boldsymbol{\omega}$ không mang ý nghĩa vật lý trực tiếp từ đạo hàm tọa độ, nhưng từ tính tương tự với phương trình (4.89), nó cũng được gọi là ma trận Jacobian. Mối quan hệ giữa $\boldsymbol{J}_\omega$ và $\boldsymbol{J}$, dưới điều kiện $\text{S}\theta \neq 0$, từ phương trình (4.87) là

$$\boldsymbol{J}_\omega \dot{\boldsymbol{q}} = \begin{bmatrix} \dot{\boldsymbol{p}}_H \\ \boldsymbol{\Pi} \dot{\boldsymbol{\eta}}_H \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{I}_3 & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{\Pi} \end{bmatrix} \boldsymbol{J} \dot{\boldsymbol{q}} \tag{4.91}$$

Từ đó, ta có

$$\boldsymbol{J}_\omega = \begin{bmatrix} \boldsymbol{I}_3 & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{\Pi} \end{bmatrix} \boldsymbol{J} \tag{4.92}$$

Mối quan hệ giữa gia tốc vị trí tư thế phần đầu cuối và gia tốc khớp được biểu diễn bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian phương trình (4.89):

$$\ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{J}\ddot{\boldsymbol{q}} + \dot{\boldsymbol{J}}\dot{\boldsymbol{q}} \tag{4.93}$$

Tương tự, lấy đạo hàm theo thời gian phương trình (4.90), ta được:

$$\ddot{\boldsymbol{r}}_\omega = \boldsymbol{J}_\omega\ddot{\boldsymbol{q}} + \dot{\boldsymbol{J}}_\omega\dot{\boldsymbol{q}} \tag{4.94}$$

Ví dụ 4.6 Hãy thử tìm ma trận Jacobian của cánh tay Robot 3 khớp đã cho ở Ví dụ 4.4. Lấy đạo hàm phương trình (4.51) theo thời gian, ta có thể tính được:

$$\dot{x} = -(L_1\text{S}_1 + L_2\text{S}_{12} + L_3\text{S}_{123})\dot{\theta}_1 – (L_2\text{S}_{12} + L_3\text{S}_{123})\dot{\theta}_2 – L_3\text{S}_{123}\dot{\theta}_3$$

$$\dot{y} = (L_1\text{C}_1 + L_2\text{C}_{12} + L_3\text{C}_{123})\dot{\theta}_1 + (L_2\text{C}_{12} + L_3\text{C}_{123})\dot{\theta}_2 + L_3\text{C}_{123}\dot{\theta}_3$$

$$\dot{\theta} = \dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2 + \dot{\theta}_3$$

Trong đó, $\text{C}_{123} = \cos(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3), \text{S}_{123} = \sin(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3)$. Từ đó, ta có:

$$\boldsymbol{J} = \begin{bmatrix} -(L_1\text{S}_1 + L_2\text{S}_{12} + L_3\text{S}_{123}) & -(L_2\text{S}_{12} + L_3\text{S}_{123}) & -L_3\text{S}_{123} \\ L_1\text{C}_1 + L_2\text{C}_{12} + L_3\text{C}_{123} & L_2\text{C}_{12} + L_3\text{C}_{123} & L_3\text{C}_{123} \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

≫ 4.4.2 Mối quan hệ giữa vận tốc, gia tốc của phần đầu cuối và khớp

Xem xét bài toán: khi cho trước vectơ vận tốc $m \times 1$ của phần đầu cuối $\dot{\boldsymbol{r}}$, tìm vectơ vận tốc khớp $n \times 1$ là $\dot{\boldsymbol{q}}$ để thực hiện vận tốc đó. Đây là bài toán động học nghịch theo nghĩa rộng.

Đầu tiên, giả sử $m = n$ và ma trận Jacobian là Khả nghịch (Non-singular / 正則). Trong trường hợp này, từ phương trình (4.89), ta có thể tìm được:

$$\dot{\boldsymbol{q}} = \boldsymbol{J}^{-1} \dot{\boldsymbol{r}} \tag{4.95}$$

Tuy nhiên, trên thực tế, thay vì tính ma trận nghịch đảo để tìm vận tốc khớp như thế này, việc giải trực tiếp hệ phương trình đại số tuyến tính của phương trình (4.89) bằng các phương pháp như Phương pháp khử Gauss (Gaussian elimination method / ガウスの消去法) sẽ cần ít khối lượng tính toán hơn.

Tiếp theo, giả sử ma trận Jacobian ($m \times n$) không khả nghịch, và $n > m$ với $\text{rank} \boldsymbol{J} = m$$^{\dagger 1}$. Khi đó, nếu sử dụng Ma trận nghịch đảo giả (Pseudo-inverse matrix / 疑似逆行列)$^{\dagger 2}$ của $\boldsymbol{J}$:

$$\boldsymbol{J}^+ = \boldsymbol{J}^T (\boldsymbol{J}\boldsymbol{J}^T)^{-1} \tag{4.96}$$

thì nghiệm tổng quát của phương trình (4.89) được cho bởi:

$$\dot{\boldsymbol{q}} = \boldsymbol{J}^+ \dot{\boldsymbol{r}} + (\boldsymbol{I} – \boldsymbol{J}^+ \boldsymbol{J})\boldsymbol{w} \tag{4.97}$$

Trong đó, $\boldsymbol{w}$ là một vectơ hằng số tùy ý $n$ chiều. Việc $\dot{\boldsymbol{q}}$ cho bởi phương trình (4.97) là một nghiệm có thể dễ dàng được kiểm chứng bằng cách thay nó vào phương trình (4.89). Việc $\boldsymbol{w}$ là tùy ý có nghĩa là tồn tại vô số nghiệm. Điều này xảy ra khi số khớp của cánh tay nhiều và dư thừa để quyết định vận tốc của phần đầu cuối. Trong các điều kiện ngoài các điều kiện nêu trên, tức là khi $\text{rank} \boldsymbol{J} \leqq n < m$, thì không tồn tại vận tốc khớp nào thực hiện được vận tốc của phần đầu cuối.

Tiếp theo, xem xét bài toán: khi cho trước gia tốc phần đầu cuối $\ddot{\boldsymbol{r}}$, tìm gia tốc khớp $\ddot{\boldsymbol{q}}$. Khi ma trận Jacobian khả nghịch, từ phương trình (4.93), nó được cho bởi:

$$\ddot{\boldsymbol{q}} = \boldsymbol{J}^{-1} (\ddot{\boldsymbol{r}} – \dot{\boldsymbol{J}}\dot{\boldsymbol{q}}) \tag{4.98}$$

Mối quan hệ trên vẫn đúng ngay cả khi thay thế $\dot{\boldsymbol{r}}$ bằng $\dot{\boldsymbol{r}}_\omega$, và $\boldsymbol{J}$ bằng $\boldsymbol{J}_\omega$. Tức là, nếu ma trận Jacobian khả nghịch thì

$$\dot{\boldsymbol{q}} = \boldsymbol{J}_\omega^{-1} \dot{\boldsymbol{r}}_\omega \tag{4.99}$$

$$\ddot{\boldsymbol{q}} = \boldsymbol{J}_\omega^{-1} (\ddot{\boldsymbol{r}}_\omega – \dot{\boldsymbol{J}}_\omega\dot{\boldsymbol{q}}) \tag{4.100}$$

$\dagger 1 \ \text{rank} \boldsymbol{A}$: Hạng (Rank / 階数) của ma trận $\boldsymbol{A}$. Tương đương với số lượng vectơ cột độc lập tuyến tính của ma trận $\boldsymbol{A}$.
$\dagger 2$ Ma trận nghịch đảo giả (Pseudo-inverse matrix / 疑似逆行列): Đối với một ma trận thực $m \times n$ bất kỳ $\boldsymbol{A}$, chỉ tồn tại duy nhất một ma trận thực $n \times m$ $\boldsymbol{A}^+$ thỏa mãn 1) $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^+\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}$, 2) $\boldsymbol{A}^+\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^+ = \boldsymbol{A}^+$, 3) $(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^+)^T = \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^+$, 4) $(\boldsymbol{A}^+\boldsymbol{A})^T = \boldsymbol{A}^+\boldsymbol{A}$, và $\boldsymbol{A}^+$ này được gọi là ma trận nghịch đảo giả của $\boldsymbol{A}$. Ma trận nghịch đảo giả $\boldsymbol{A}^+$ sẽ là $\boldsymbol{A}^+ = \boldsymbol{A}^T(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T)^{-1}$ khi $\text{rank} \boldsymbol{A} = m$, và $\boldsymbol{A}^+ = (\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{A}^T$ khi $\text{rank} \boldsymbol{A} = n$.

4.5 Tĩnh lực học (Statics / 静力学)

≫ 4.5.1 Nguyên lý công ảo (Principle of virtual work / 仮想仕事の原理)

Khi một vật thể ở trạng thái cân bằng, tổng các lực tác dụng lên nó bằng 0. Ở đây, hãy xem xét sự cân bằng lực tác dụng lên vật thể nằm trên sàn trong Hình 4.21. Lên vật thể có ngoại lực $\boldsymbol{f}$ tác dụng do trọng lực, và phản lực của nó là lực ép vuông góc $\boldsymbol{s}$ từ sàn tác dụng lên, vì chúng cân bằng nên:

$$\boldsymbol{f} + \boldsymbol{s} = \boldsymbol{0} \tag{4.101}$$

Vì $\boldsymbol{s}$ là lực xuất hiện để tạo ra sự cân bằng nên nó được gọi là Lực ràng buộc (Constraint force / 束縛力 (拘束力)). Từ trạng thái cân bằng này, ta xét một Chuyển vị ảo (Virtual displacement / 仮想変位) vô cùng nhỏ $\delta\boldsymbol{r}$ tùy ý không phá vỡ điều kiện ràng buộc của hệ. Khi đó, công $\delta W$ do tất cả các lực thực hiện được gọi là Công ảo (Virtual work / 仮想仕事).

$$\delta W = (\boldsymbol{f} + \boldsymbol{s})^T \delta\boldsymbol{r} \tag{4.102}$$

Ở trạng thái cân bằng, từ phương trình (4.101) ta có:

$$\delta W = 0 \tag{4.103}$$

Như vậy, công ảo do các lực của một hệ đang cân bằng sinh ra là bằng 0. Điều này được gọi là Nguyên lý công ảo (Principle of virtual work / 仮想仕事の原理). Từ phương trình (4.102) và (4.103), ta có:

$$\boldsymbol{f}^T \delta\boldsymbol{r} = -\boldsymbol{s}^T \delta\boldsymbol{r} \tag{4.104}$$

được thành lập. Lưu ý rằng mặc dù biểu diễn của chuyển vị ảo khác nhau tùy thuộc vào hệ tọa độ, phương trình (4.104) vẫn đúng đối với mọi cách biểu diễn của chuyển vị ảo tùy ý. Cần chú ý trong trường hợp này, lực phải được biểu diễn trong hệ tọa độ tương ứng với chuyển vị ảo.

≫ 4.5.2 Mối quan hệ giữa lực truyền động khớp và lực tại phần đầu cuối

Xét bài toán: khi lực ${}^0\boldsymbol{f}_H$ và mô-men ${}^0\boldsymbol{n}_H$ tác dụng lên gốc tọa độ $O_H$ của hệ tọa độ phần đầu cuối $\Sigma_H$, tìm Lực truyền động (Driving force / 駆動力) $\boldsymbol{\tau} = [\tau_1, \tau_2, \cdots, \tau_n]^T$ của từng khớp để cân bằng với chúng. Ở đây, $\tau_i$ có ý nghĩa là lực khi khớp $i$ là khớp tịnh tiến, và là mô-men xoắn (torque) khi nó là khớp quay. Giữa chuyển vị ảo vi mô của phần đầu cuối $\delta\boldsymbol{r}$ định nghĩa trong hệ tọa độ Đề-các và chuyển vị ảo của khớp $\delta\boldsymbol{q}$, từ phương trình (4.90) ta có mối quan hệ:

$$\delta\boldsymbol{r} = \boldsymbol{J}_\omega \delta\boldsymbol{q} \tag{4.105}$$

Theo nguyên lý công ảo, ta có:

$$\delta\boldsymbol{q}^T \boldsymbol{\tau} = \delta\boldsymbol{r}^T \begin{bmatrix} {}^0\boldsymbol{f}_H \\ {}^0\boldsymbol{n}_H \end{bmatrix} \tag{4.106}$$

Thay phương trình (4.105) vào phương trình (4.106), ta được:

$$\delta\boldsymbol{q}^T \boldsymbol{\tau} = \delta\boldsymbol{q}^T \boldsymbol{J}_\omega^T \begin{bmatrix} {}^0\boldsymbol{f}_H \\ {}^0\boldsymbol{n}_H \end{bmatrix}$$

Vì mối quan hệ này đúng với mọi $\delta\boldsymbol{q}$ tùy ý, ta có thể suy ra:

$$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{J}_\omega^T \begin{bmatrix} {}^0\boldsymbol{f}_H \\ {}^0\boldsymbol{n}_H \end{bmatrix} \tag{4.107}$$

Như được thể hiện trong phương trình (4.107), ma trận chuyển vị của ma trận Jacobian liên kết lực truyền động khớp với lực và mô-men trong hệ tọa độ phần đầu cuối.

≫ 4.5.3 Lực trong hệ tọa độ cơ sở tương đương với lực biểu diễn trong hệ tọa độ phần đầu cuối

Xét bài toán: khi lực ${}^H\boldsymbol{f}_H$ và mô-men ${}^H\boldsymbol{n}_H$ biểu diễn trong $\Sigma_H$ tác dụng lên gốc $O_H$ của hệ tọa độ phần đầu cuối $\Sigma_H$, tìm lực ${}^0\boldsymbol{f}_0$ và mô-men ${}^0\boldsymbol{n}_0$ tương đương tác dụng lên gốc của $\Sigma_0$.

Từ sự cân bằng lực, vì ${}^H\boldsymbol{f}_H$ khi biểu diễn theo tư thế của $\Sigma_0$ sẽ bằng với ${}^0\boldsymbol{f}_0$, ta có:

$${}^0\boldsymbol{f}_0 = {}^0\boldsymbol{R}_H {}^H\boldsymbol{f}_H \tag{4.108}$$

Từ sự cân bằng mô-men, tổng của mô-men sinh ra bởi ${}^0\boldsymbol{R}_H {}^H\boldsymbol{f}_H$ và mô-men ${}^H\boldsymbol{n}_H$ biểu diễn trong $\Sigma_0$ sẽ bằng ${}^0\boldsymbol{n}_0$, nên:

$${}^0\boldsymbol{n}_0 = {}^0\boldsymbol{R}_H {}^H\boldsymbol{n}_H + {}^0\boldsymbol{p}_H \times ({}^0\boldsymbol{R}_H {}^H\boldsymbol{f}_H) \tag{4.109}$$

Trong đó, ${}^0\boldsymbol{p}_H$ là vectơ vị trí gốc của $\Sigma_H$ biểu diễn trong $\Sigma_0$. Ký hiệu $\times$ là biểu thị tích có hướng của vectơ (vector cross product). Đối với hai vectơ bất kỳ $\boldsymbol{a} = [a_x, \ a_y, \ a_z]^T$ và $\boldsymbol{b} = [b_x, \ b_y, \ b_z]^T$, như thể hiện trong Hình 4.22, $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ được định nghĩa là trực giao với cả $\boldsymbol{a}$ và $\boldsymbol{b}$, với hướng tiến theo quy tắc bàn tay phải từ $\boldsymbol{a}$ sang $\boldsymbol{b}$, và có độ lớn bằng diện tích hình bình hành tạo bởi $\boldsymbol{a}$ và $\boldsymbol{b}$:

$$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} a_y b_z – a_z b_y \\ a_z b_x – a_x b_z \\ a_x b_y – a_y b_x \end{bmatrix} \tag{4.110}$$

được biểu diễn như trên (tham khảo Phụ lục B). Ở đây, nếu định nghĩa ma trận:

$$[\boldsymbol{a}\times] = \begin{bmatrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \end{bmatrix} \tag{4.111}$$

thì ta có:

$$[\boldsymbol{a}\times]\boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \tag{4.112}$$

Ma trận $[\boldsymbol{a}\times]$ thỏa mãn tính chất phản xứng: $[\boldsymbol{a}\times]^T = -[\boldsymbol{a}\times]$. Từ đó, phương trình (4.108) và (4.109) có thể được biểu diễn thành:

$$\begin{bmatrix} {}^0\boldsymbol{f}_0 \\ {}^0\boldsymbol{n}_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {}^0\boldsymbol{R}_H & \boldsymbol{0} \\ [{}^0\boldsymbol{p}_H\times]{}^0\boldsymbol{R}_H & {}^0\boldsymbol{R}_H \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {}^H\boldsymbol{f}_H \\ {}^H\boldsymbol{n}_H \end{bmatrix} \tag{4.113}$$

Hơn nữa, nếu ta định nghĩa:

$${}^H\boldsymbol{\Gamma}_0 = \begin{bmatrix} {}^H\boldsymbol{R}_0 & -{}^H\boldsymbol{R}_0 [{}^0\boldsymbol{p}_H\times] \\ \boldsymbol{0} & {}^H\boldsymbol{R}_0 \end{bmatrix} \tag{4.114}$$

thì phương trình (4.113) trở thành:

$$\begin{bmatrix} {}^0\boldsymbol{f}_0 \\ {}^0\boldsymbol{n}_0 \end{bmatrix} = {}^H\boldsymbol{\Gamma}_0^T \begin{bmatrix} {}^H\boldsymbol{f}_H \\ {}^H\boldsymbol{n}_H \end{bmatrix} \tag{4.115}$$

Lưu ý rằng, mối quan hệ giữa vectơ vận tốc được định nghĩa trong phương trình (4.86) khi biểu diễn trong $\Sigma_0$ là ${}^0\dot{\boldsymbol{r}}_\omega$ và biểu diễn trong $\Sigma_H$ là ${}^H\dot{\boldsymbol{r}}_\omega$, theo nguyên lý công ảo sẽ là:

$${}^H\dot{\boldsymbol{r}}_\omega = {}^H\boldsymbol{\Gamma}_0 {}^0\dot{\boldsymbol{r}}_\omega \tag{4.116}$$

Lực truyền động khớp tương đương với lực ${}^H\boldsymbol{f}_H$ và mô-men ${}^H\boldsymbol{n}_H$ được tính bằng cách thay thế mối quan hệ ${}^0\boldsymbol{f}_H = {}^0\boldsymbol{R}_H {}^H\boldsymbol{f}_H, \ {}^0\boldsymbol{n}_H = {}^0\boldsymbol{R}_H {}^H\boldsymbol{n}_H$ vào phương trình (4.107):

$$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{J}_\omega^T \begin{bmatrix} {}^0\boldsymbol{R}_H & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & {}^0\boldsymbol{R}_H \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {}^H\boldsymbol{f}_H \\ {}^H\boldsymbol{n}_H \end{bmatrix} \tag{4.117}$$

Ví dụ 4.7 Giả sử lực ${}^H\boldsymbol{f}_H = [1, \ 2, \ 0]^T \ \text{N}$ và mô-men ${}^H\boldsymbol{n}_H = [0, \ 0, \ 0.5]^T \ \text{Nm}$ đang tác dụng lên phần đầu cuối của cánh tay 3 khớp ở Ví dụ 4.4, như thể hiện trong Hình 4.23. Hãy tìm mô-men xoắn khớp $\boldsymbol{\tau}$ cân bằng với ngoại lực này, cũng như lực ${}^0\boldsymbol{f}_0$ và mô-men ${}^0\boldsymbol{n}_0$ trong tọa độ cơ sở. Lấy $L_1 = L_2 = L_3 = 0.2\,\text{m}$, $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = 30^\circ$.

Vì hệ thống bị giới hạn trong chuyển động phẳng, nên đối với cân bằng lực, ta chỉ cần xét thành phần $x, \ y$, và đối với cân bằng mô-men, ta chỉ cần xét thành phần $z$. Vị trí và tư thế của phần đầu cuối ${}^0\boldsymbol{r}_H$ từ phương trình (4.51) là:

$${}^0\boldsymbol{r}_H = [0.273, \ 0.473, \ 0, \ 0, \ 0, \ \pi/2]^T$$

và ma trận tư thế của phần đầu cuối ${}^0\boldsymbol{R}_H$ là:

$${}^0\boldsymbol{R}_H = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Tại đây,

$$[{}^0\boldsymbol{p}_H \times] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0.473 \\ 0 & 0 & -0.273 \\ -0.473 & 0.273 & 0 \end{bmatrix}$$

do đó, ${}^H\boldsymbol{\Gamma}_0$ từ phương trình (4.114) sẽ là:

$${}^H\boldsymbol{\Gamma}_0 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0.273 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.473 \\ 0 & 0 & 1 & 0.473 & -0.273 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

và lực cùng mô-men trong tọa độ cơ sở từ phương trình (4.115) là:

$$\begin{bmatrix} {}^0\boldsymbol{f}_0 \\ {}^0\boldsymbol{n}_0 \end{bmatrix} = {}^H\boldsymbol{\Gamma}_0^T [1, \ 2, \ 0, \ 0, \ 0, \ 0.5]^T$$

$$= [-2, \ 1, \ 0, \ 0, \ 0, \ 1.719]^T$$

Ma trận Jacobian theo kết quả của Ví dụ 4.6 là:

$$\boldsymbol{J}_\omega = \begin{bmatrix} -0.473 & -0.373 & -0.2 \\ 0.273 & 0.1 & 0.0 \\ 1.0 & 1.0 & 1.0 \end{bmatrix}$$

Từ mối quan hệ của ${}^H\boldsymbol{f}_H = [1, \ 2, \ 0]^T$ và ${}^H\boldsymbol{n}_H = [0, \ 0, \ 0.5]^T$, sửa đổi phương trình (4.107), mô-men xoắn khớp sẽ là phương trình sau:

$$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{J}_\omega^T [-2, \ 1, \ 0.5]^T = [1.72, \ 1.346, \ 0.9]^T \ \text{Nm}$$

4.6 Đánh giá cơ cấu và điểm kỳ dị

≫ 4.6.1 Giải tích điểm kỳ dị (Singular point analysis / 特異点解析)

Nếu gọi số bậc tự do của Robot trong không gian làm việc là $m$, thì Điểm kỳ dị (Singular point / 特異点) là điểm mà tại đó:

$$\text{rank} \boldsymbol{J}_\omega < m \tag{4.118}$$

Tại điểm kỳ dị, $\dot{\boldsymbol{q}}$ không thể được tính toán theo phương trình (4.95) hoặc (4.99), dẫn đến không thể thực hiện được vận tốc phần đầu cuối mục tiêu, hoặc không thể điều khiển lực, làm suy giảm hiệu suất làm việc. Điều kiện cần và đủ để là một điểm kỳ dị, từ phương trình (4.118) là:

$$\det \boldsymbol{J}_\omega = 0 \tag{4.119}$$

Ở đây, $\det \boldsymbol{J}_\omega$ có nghĩa là Định thức (Determinant / 行列式) của $\boldsymbol{J}_\omega$.

Ví dụ 4.8 Hãy tìm Điểm kỳ dị (Singular point / 特異点) của cánh tay Robot 3 khớp được thể hiện ở Ví dụ 4.4. Nếu tính định thức từ Ma trận Jacobian (Jacobian matrix / ヤコビ行列) đã tìm được ở Ví dụ 4.6, ta thu được:

$$\det \boldsymbol{J}_\omega = L_1 L_2 \text{S}_2$$

Điểm kỳ dị, theo điều kiện của phương trình (4.119), là khi:

$$\theta_2 = 0, \ \pi$$

Hình 4.24 Điểm kỳ dị của cánh tay 3 khớp

Hình 4.24 thể hiện tư thế của Robot tại điểm kỳ dị ($\theta_2 = 0$). Trong cùng hình, có thể nói rằng ngay cả khi nằm trong phạm vi có thể chuyển động, nó cũng không thể di chuyển theo hướng trục $\boldsymbol{x}$ trong khi vẫn giữ tư thế của phần đầu cuối song song với trục $\boldsymbol{y}$ và duy trì giá trị trên trục $\boldsymbol{y}$.

≫ 4.6.2 Đánh giá cơ cấu bằng ma trận Jacobian

Một trong những tiêu chuẩn để đánh giá cơ cấu của Robot là 2 điểm: phần đầu cuối có thể di chuyển tự do như thế nào trong không gian, và có thể thao tác lực cũng như mô-men tác dụng lên đối tượng làm việc tự do ra sao. Việc Đánh giá cơ cấu (Mechanism evaluation / 機構評価) này có thể được thực hiện thông qua giải tích các đặc tính của Ma trận Jacobian (Jacobian matrix / ヤコビ行列) $\boldsymbol{J}$.

Khi độ lớn của vận tốc khớp $\dot{\boldsymbol{q}}$ là $\|\dot{\boldsymbol{q}}\| \leqq 1$, miền có thể nhận của vận tốc $\dot{\boldsymbol{r}}_\omega$ trong Không gian làm việc (Workspace / 作業空間) của phần đầu cuối, theo phương trình (4.90), sẽ tạo thành một Ellipsoid (Ellipsoid / 楕円体) $m$ chiều. Hình dạng của ellipsoid này càng gần với hình cầu thì càng có nghĩa là nó có thể di chuyển tự do theo bất kỳ hướng nào, và có thể thao tác lực cũng như mô-men một cách tự do. Nếu gọi Giá trị kỳ dị (Singular value / 特異値) của $\boldsymbol{J}_\omega$ (tham khảo Phụ lục A) là:

$$\sigma_1 \geqq \sigma_2 \geqq \cdots \geqq \sigma_m \geqq 0 \tag{4.120}$$

thì có thể nói rằng thể tích $V_m$ của ellipsoid này tỷ lệ thuận với tích của các giá trị kỳ dị. Tức là:

$$V_m = k \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_m \tag{4.121}$$

Trong đó, $k$ là hằng số tỷ lệ. Từ tính chất của giá trị kỳ dị:

$$\sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_m = \sqrt{\det(\boldsymbol{J}_\omega \boldsymbol{J}_\omega^T)} \tag{4.122}$$

Khi $m=n$, $V_m$ tỷ lệ thuận với $\det \boldsymbol{J}_\omega$. Do đó, phương trình (4.122) hoặc $\det \boldsymbol{J}_\omega$ có thể trở thành Chỉ số (Index / 指標) để đánh giá Hiệu suất làm việc (Working performance / 作業性能) của cơ cấu. Tại điểm kỳ dị, vì $\sigma_m = 0$ nên $V_m = 0$, có thể nói hiệu suất làm việc không tốt. Dựa trên chỉ số này, có thể lập kế hoạch quỹ đạo cánh tay một cách hợp lý.

Bài tập thực hành (Exercises / 演習問題)

4.1 Hãy chứng minh phương trình (4.27).

4.2 Hãy chứng minh phương trình (4.28).

4.3 Khi cho trước Ma trận quay (Rotation matrix / 回転行列) ${}^0\boldsymbol{R}_A = [R_{ij}]$, hãy suy ra các công thức tính toán để tìm Góc Roll-Pitch-Yaw (Roll-Pitch-Yaw angles / ロール・ピッチ・ヨウ角).

4.4 Hãy tìm Ma trận biến đổi đồng nhất (Homogeneous transformation matrix / 同次変換行列) ${}^0\boldsymbol{T}_A$ và Góc Euler (Euler angles / オイラー角) của hệ tọa độ vật thể $\Sigma_A$ được thể hiện trong Hình 4.25. Hơn nữa, khi một điểm được biểu diễn bằng ${}^A\boldsymbol{p} = [1, \ 2, \ 3]^T$ trong hệ tọa độ vật thể $\Sigma_A$, hãy tìm xem nó sẽ được biểu diễn như thế nào trong hệ tọa độ cơ sở $\Sigma_0$.

Hình 4.25 Hệ tọa độ cơ sở $\Sigma_0$ và hệ tọa độ vật thể $\Sigma_A$

4.5 Hãy thiết lập tọa độ khâu cho Robot kiểu đa khớp ngang (Horizontal articulated type robot / 水平多関節型ロボット) được thể hiện trong Hình 4.26, và tìm ${}^0\boldsymbol{T}_4$.

Hình 4.26 Robot kiểu đa khớp ngang

4.6 Hãy tìm Ma trận Jacobian (Jacobian matrix / ヤコビ行列) của Robot kiểu đa khớp ngang được thể hiện trong Hình 4.26.

4.7 Khi ma trận Jacobian $\boldsymbol{J}$ kích thước $m \times n$ có $\text{rank} \boldsymbol{J} = m \ (m < n)$, và khi cho trước vận tốc phần đầu cuối $\dot{\boldsymbol{r}}$, hãy chứng minh rằng vận tốc khớp $\dot{\boldsymbol{q}}$ có thể được tính theo phương trình (4.97).

4.8 Khi Bài toán động học nghịch (Inverse kinematics problem / 逆運動学問題) thu được nhiều nghiệm, hãy xem xét nên chọn nghiệm dựa trên những tiêu chuẩn nào.