2.2. Biến đổi Laplace và Biến đổi Fourier

2.2.1 Định nghĩa Biến đổi Laplace và Biến đổi Fourier

Tài liệu này giới thiệu Biến đổi Laplace và Biến đổi Fourier, vốn là những công cụ quan trọng.

Phép biến đổi một hàm số $x(t)$ (với giá trị $0$ tại thời gian $t < 0$) thành hàm phức $X(s)$ theo biến số phức $s$ được gọi là Biến đổi Laplace (Laplace Transform) của $x(t)$ và biểu diễn là $X(s) = L[x(t)]$:

Không phải mọi hàm số đều có thể thực hiện biến đổi Laplace, mà chỉ giới hạn khi tồn tại số thực $\sigma (>0)$ thỏa mãn phương trình (2.8):

Ghi chú (Note)

– Tùy thuộc vào tài liệu, có trường hợp sử dụng biến đổi Laplace (Fourier) hai phía với phạm vi tích phân từ $-\infty \sim \infty$, nhưng theo giả thiết $x = 0 \, (t < 0)$ nên kết quả là giống nhau.

– Lý do tại sao cần sử dụng các hàm số phức tạp như bên trái sẽ được trình bày ở Chương 6.

Về mặt hình thức, phép biến đổi thay thế $s$ trong biến đổi Laplace bằng $j\omega$:

được gọi là Biến đổi Fourier (Fourier Transform) của $x(t)$, và thường được sử dụng trong phân tích hệ thống dao động. Biến đổi Fourier cũng không khả thi với mọi hàm số, mà chỉ giới hạn ở những hàm có giá trị tích phân biểu diễn bởi phương trình (2.9) là bị chặn (hữu hạn). Khi xét đến việc $e^{-j\omega t} = \cos \omega t – j \sin \omega t$ có giá trị tuyệt đối bằng 1 (tổng bình phương phần thực và phần ảo bằng 1), thì các loại $x(t)$ thỏa mãn tính bị chặn của phương trình (2.9) sẽ bị giới hạn.

Mặt khác, $s$ trong biến đổi Laplace là số phức, nói chung được biểu diễn là $s = \sigma + j\omega (\sigma > 0)$. Khi đó, phương trình (2.7) có thể viết lại như phương trình (2.10).

Từ phương trình (2.10), biến đổi Laplace có thể được giải thích là việc thực hiện biến đổi Fourier đối với một “hàm số dễ hội tụ” $\{ \quad \}$ được tạo ra bằng cách nhân hàm thời gian $x(t)$ với hàm mũ $e^{-\sigma \cdot t}$. Tóm lại, biến đổi Laplace là phép biến đổi mở rộng phạm vi các hàm có thể biến đổi so với các hàm có thể biến đổi Fourier. Tuy nhiên, trong thực tế sử dụng, hầu hết các hàm tuyến tính được đề cập trong tài liệu này đều có thể thực hiện cả biến đổi Laplace và biến đổi Fourier, nên không cần thiết phải kiểm chứng điều kiện khả thi.

Ghi chú (Note)

– Bị chặn (Bounded/有界) nghĩa là giá trị không tiến tới $\pm \infty$ mà dừng lại ở một giá trị hữu hạn.

– Biến đổi Fourier ngược cũng có thể định nghĩa được nhưng không được đề cập trong tài liệu này.

Mặt khác, Biến đổi Laplace ngược $x(t) = L^{-1}[X(s)]$ được định nghĩa như phương trình (2.11), nhưng thông thường phương trình định nghĩa này không được sử dụng, mà thay vào đó sẽ sử dụng Bảng biến đổi Laplace được giới thiệu ở mục tiếp theo.

2.2.2. Các ví dụ về Biến đổi Laplace và Bảng biến đổi Laplace

Nếu chỉ để sử dụng biến đổi Laplace, chỉ cần biết phương trình định nghĩa và xác nhận các phép biến đổi thường dùng là đủ. Các biến đổi Laplace điển hình được tóm tắt trong Bảng biến đổi Laplace (Bảng 2.1). Ngoài ra, khi tính toán dưới đây, để thuận tiện, có thể coi biến số phức $s$ như là số thực dương.

① Biến đổi Laplace của Hàm đơn vị (Hàm bước đơn vị) (Unit step function/単位ステップ関数) $x(t) = 1, \, (t \geq 0)$ (Hình 2.5(a))

② Biến đổi Laplace của Hàm dốc đơn vị (Unit ramp function/単位ランプ指数関数) $x(t) = t, \, (t \geq 0)$ (Hình 2.5(b))

Ghi chú (Note)

– Khi $x(0)=0$, vì $L[\frac{d}{dt} x(t)] = s \cdot X(s)$, nên thông thường có thể coi “Vi phân chỉ là nhân với $s$”. Tương tự, có thể coi “Tích phân chỉ là nhân với $1/s$”.

③ Biến đổi Laplace của Hàm mũ (Exponential function/指数関数) $x(t) = e^{-at}, \, (t \geq 0)$ (Hình 2.5(c))

④ Biến đổi Laplace của Hàm vi phân (Derivative function/微分関数) $dx(t)/dt, \, (t \geq 0)$ (Sử dụng tích phân từng phần)

Ghi chú (Note)

– Tích phân từng phần (Integration by parts/部分積分):

$\int_{a}^{b} f \cdot g’ dx = [f \cdot g]_{a}^{b} – \int_{a}^{b} f’ \cdot g dx$

⑤ Biến đổi Laplace của Hàm tích phân (Integral function/積分関数) $\int_{0}^{t} x(t) dt, \, (t \geq 0)$

⑥ Định nghĩa và Biến đổi Laplace của Hàm Delta $\delta(t)$ (Hình 2.5(d))

Được gọi là Hàm Delta Dirac (Dirac delta function) hoặc Hàm xung đơn vị (Unit impulse function/単位インパルス関数) $\delta(t)$. Đây là hàm đặc biệt được gọi là hàm suy rộng (Generalized function/超関数), có độ rộng vô cùng nhỏ và biên độ tiến tới $\infty$ với diện tích bằng 1. Thông thường, $\delta(t)$ không được dùng đơn lẻ mà được dùng dưới dạng tích với một hàm thời gian trơn $f(t)$, và được định nghĩa là hàm sao cho giá trị tích phân của tích với $f(t)$ sẽ bằng giá trị ban đầu $f(0)$ của $f(t)$ như phương trình (2.17).

Nếu đặt $f(t) = e^{-st}$, phương trình (2.17) tương đương với biến đổi Laplace của $\delta(t)$, nhưng theo định nghĩa trên, vế phải là $f(0) = e^{-s \cdot 0} = 1$. Điều này khác với các biến đổi Laplace khác.

Ghi chú (Note)

– Để tính toán hàm Delta $\delta(t)$ theo phương trình (2.7), cần phải coi rằng trong khoảng $0 \leq t \leq \Delta \tau$, $f(t) = f(0)$. Đối với các hàm thông thường thì giả định này là không cần thiết.

Dưới đây trình bày Bảng biến đổi Laplace điển hình. Từ nay về sau, khi thực hiện biến đổi Laplace và biến đổi ngược, nếu có thể, hãy sử dụng Bảng biến đổi Laplace này và tránh việc tính toán dựa trên phương trình định nghĩa.

Hình 2.5 Dạng sóng tín hiệu của các hàm số khác nhau

Bảng 2.1 Bảng biến đổi Laplace điển hình (với $x(t)=0$ khi $t < 0$)

Ghi chú (Note)

Có thể một số người cảm thấy lạ lẫm với điều kiện (với $t < 0 \dots$) trong Bảng 2.1. $t=0$ chỉ là thời điểm tham chiếu do người thiết kế quyết định để thuận tiện.

(Chú ý: Từ đây về sau, sơ đồ khối hàm truyền sẽ sử dụng biến đổi Laplace cho cả biến số trên đường tín hiệu và hàm truyền trong khối, như trong Hình 2.6(a). Ví dụ, như hình (b), nếu hàm truyền $G(s)$ tương ứng với vi phân thì dùng $s$, và đọc là “Vi phân $U(s)$ sẽ thành $Y(s)$”. Như hình (c), dùng $1/s$ cho tích phân và đọc là “Tích phân $U(s)$ sẽ thành $Y(s)$”.)

Ví dụ sử dụng: Vi phân thời gian của vị trí sẽ thành vận tốc. Tích phân thời gian của vận tốc sẽ thành vị trí.

Hình 2.6 Sơ đồ khối hàm truyền dựa trên biến đổi Laplace

2.3. Các tính chất của Vectơ và Ma trận

Trong Tiết 3.2 và từ Tiết 6.3 trở đi, Đại số tuyến tính (Linear Algebra/線形代数) sẽ trở thành công cụ quan trọng. Toán học thường bị hiểu nhầm là đối cực của kỹ thuật thực tiễn, nhưng thực ra việc sử dụng thành thạo nó như một công cụ thiết kế và phân tích chính là hành động không thể thiếu để tạo ra các hệ thống có tính thực tiễn.

2.3.1. Các phép toán cơ bản của Vectơ – Ma trận và công thức Định thức

(a) Vectơ – Ma trận và Ma trận chuyển vị

Việc sắp xếp dọc $m$ biến số hoặc hằng số được gọi là Vectơ $m$ chiều ($m$-dimensional vector), việc sắp xếp thành $m$ hàng và $n$ cột được gọi là Ma trận kích thước $m \times n$ ($m \times n$ matrix), và được biểu diễn như phương trình (2.18), (2.19). Ma trận có $n=1$ chính là vectơ. Nếu các phần tử là số thực thì gọi là Vectơ thực (Ma trận thực), nếu là số phức thì gọi là Vectơ phức (Ma trận phức), và được ký hiệu là $A \in R^m, \, A \in C^m, \, B \in R^{m \times n}, \, B \in C^{m \times n}$. Khi $m=n$ thì gọi là Ma trận vuông (Square matrix/正方行列).

Ghi chú (Note)

– Trong các ký hiệu bên trái, $R$ biểu thị số thực, $C$ biểu thị số phức. $A \in R^m$ biểu thị việc $A$ thuộc về tập hợp toàn thể các vectơ có phần tử là $m$ số thực.

Ma trận $A^T$ có được bằng cách hoán đổi toàn bộ phần tử hàng thứ $i$ cột thứ $j$ với phần tử hàng thứ $j$ cột thứ $i$ của ma trận $A$ được gọi là Ma trận chuyển vị (Transpose Matrix / 転置行列) của $A$. Ma trận thỏa mãn $A^T=A$ được gọi là Ma trận đối xứng (Symmetric Matrix / 対称行列), nếu $A^T=-A$ thì gọi là Ma trận phản xứng (Skew-symmetric Matrix / 歪対称行列). Ma trận có số hàng bằng 1 được gọi là Vectơ hàng (Row Vector), ma trận có số cột bằng 1 được gọi là Vectơ cột (Column Vector). Ma trận có các phần tử khác 0 chỉ nằm trên đường chéo chính được gọi là Ma trận đường chéo (Diagonal Matrix). Trường hợp các phần tử đường chéo được sắp xếp theo thứ tự $a, \ b, \ c, \ \cdots$ từ trái trên xuống phải dưới, ta biểu diễn là $diag(a, b, c, \cdots)$. Nếu có $n$ phần tử đường chéo và tất cả đều bằng 1 thì gọi là Ma trận đơn vị (Identity Matrix / 単位行列) $I_{n \times n}$.

Ghi chú (Note)

– Có người học ký hiệu ma trận đơn vị là $E$, có người học là $I$. Cả hai đều có ý nghĩa như nhau.

(b) Tổng và Hiệu của Ma trận

Tổng hoặc hiệu của ma trận $A$ và $B$ khả thi khi cả hai có cùng kích thước, thực hiện bằng cách cộng hoặc trừ từng phần tử tương ứng. Phần tử hàng thứ $i$ cột thứ $j$ sẽ là $c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$.

(c) Tích của Ma trận

Quan trọng: Có thể thực hiện tích của ma trận $(m \times n)$ và ma trận $(n \times l)$, kết quả thu được là ma trận $(m \times l)$.

Trường hợp $A(m \times n) \cdot B(n \times l) = C(m \times l)$, phần tử của $C$ được tính từ các phần tử của $A$ và $B$ như phương trình (2.20). Nói chung, $A \cdot B \neq B \cdot A$, nhưng trường hợp dấu bằng xảy ra thì gọi là giao hoán (Commutative / 可換).

Ghi chú (Note)

– Mối quan hệ giữa số hàng và số cột liên quan đến tích ma trận bên trái tuy là kiến thức sơ cấp nhưng nhiều sinh viên không nắm rõ.

【Ví dụ 2】

Hãy xem ví dụ về phép nhân giữa các ma trận không vuông.

(d) Công thức Định thức

Định thức (Determinant / 行列式) được định nghĩa đối với ma trận vuông. Bỏ qua định nghĩa và phương pháp tính toán cơ bản, dưới đây liệt kê một số công thức hữu ích khi số hàng và số cột lớn. $\lambda_i$ trong ②, ③ là trị riêng (Eigenvalue / 固有値) của ma trận $A$ (tham khảo mục 2.3.3).

① $\det A = \det A^T \quad (2.22)$

② $\det A = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n \quad(2.23)$

③ Nếu $\lambda_i \neq 0, \ \forall i$ thì $\det A \neq 0$, do đó tồn tại $A^{-1}$ sao cho $A^{-1}A = AA^{-1} = I$.

④ Nếu $A, \ B$ cùng là ma trận vuông cấp $(n \times n)$,

$\det (AB) = \det A \cdot \det (B) \quad(2.24)$

⑤ Từ $\det (A^{-1}A) = \det A^{-1} \cdot \det A = \det I = 1$, suy ra

$\det A^{-1} = 1/\det A \quad(2.25)$

⑥ Đối với vô hướng $a$,

$\det (a \cdot A) = a^n \cdot A \quad(2.26)$

⑦ Định thức của ma trận $1 \times 1$ là bất biến. $\det (-1) = -1$, không phải là giá trị tuyệt đối $|-1| = 1$.

⑧ Khi $\det A \neq 0$

$\det \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \det A \cdot \det [D – CA^{-1}B] \quad(2.27)$

Khi $\det D \neq 0$

$\det \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \det D \cdot \det [A – BD^{-1}C] \quad(2.28)$

Ghi chú (Note)

– Tài liệu này biểu diễn định thức bằng $\det (\ )$. Tránh sử dụng $| \ |$ vì dễ nhầm lẫn với giá trị tuyệt đối.

– Ký hiệu $\forall$ trong ③ có nghĩa là “với mọi” (All). Dùng chữ cái đầu của All viết ngược. Các mục ⑤~⑦ thường ít được hiểu đúng. Mục ⑧ rất tiện lợi.

(e) Công thức Ma trận nghịch đảo

Đối với ma trận vuông $X \in C^{n \times n}$, ma trận $Y = X^{-1}$ thỏa mãn $XY = YX = I_n$ được gọi là Ma trận nghịch đảo (Inverse Matrix / 逆行列) của ma trận $X$. Khi chia một ma trận lớn thành 4 ma trận con, các công thức sau được thành lập.

Khi $S = D – CA^{-1}B, \ \det A \neq 0, \ \det S \neq 0$:

Hoặc, khi $K = A – BD^{-1}C, \ \det D \neq 0, \ \det K \neq 0$:

2.3.2. Ma trận giả nghịch đảo

Định nghĩa Ma trận giả nghịch đảo (Pseudo-inverse Matrix / 擬似逆行列) đối với các ma trận không vuông hoặc ma trận vuông không khả nghịch (không chính quy).

① Ma trận giả nghịch đảo $A^+(n, m)$ của ma trận dọc (nhiều hàng ít cột) hạng đầy đủ (Full rank) $A(m, n), \ m \geq n$:

$A^+ = (A^TA)^{-1}A^T$

【Ví dụ 3】

② Ma trận giả nghịch đảo $B^+(n, m)$ của ma trận ngang (ít hàng nhiều cột) hạng đầy đủ $B(m, n), \ m \geq n$:

$B^+ = B^T(BB^T)^{-1}$

③ Ma trận giả nghịch đảo (Moore-Penrose) $C^+$ của ma trận vuông không khả nghịch $C(n \times n)$

Phân tích $C$ thành ma trận dọc hạng đầy đủ $C_2(m \times n), \ m > n$ và ma trận ngang hạng đầy đủ $C_1(n \times m), \ m > n$, tìm ma trận giả nghịch đảo theo phương pháp ①②, sau đó tính từ tích của cả hai.

$C = C_2C_1 \Rightarrow C^+ = (C_2C_1)^+ = C_1^+C_2^+ \tag{2.31}$

Điều sau đây được thỏa mãn:

$y = Cx, \ \hat{x} = C^+y, \ \hat{y} = C\hat{x} = CC^+y = CC^+Cx = y$

④ Ma trận giả nghịch đảo tổng quát hóa

Nghiệm tổng quát của $x$ đối với $y = Dx$ là:

$x = D^+y + (I_n – D^+D)w, \quad w \in C^n \tag{2.32}$

Ghi chú (Note)

Ma trận giả nghịch đảo thường được sử dụng trong phân tích và điều khiển cơ cấu đa bậc tự do (Multi-degree-of-freedom mechanisms / 多自由度機構) được gọi là bậc tự do dư thừa (Redundant degrees of freedom / 冗長自由度), ngoài các phần được đề cập trong Tiết 4.4 và 6.4.